suites et séries

2.4

Suites de Cauchy

Une suite réelle est une suite de Cauchy si, pour tout réel e strictement positif, il existe un entier p tel que pour tous n et m supérieurs à p,|u_n - u_m| ≤ e. Intuitivement, cela signifie que plus les termes d’une suite de Cauchy sont de rang élevé, plus ils sont proches les uns des autres. Les suites de Cauchy occupent une place très importante dans l’analyse mathématique moderne.

Toute suite réelle convergente est une suite de Cauchy, et tout suite réelle de Cauchy est convergente, ce qui n’est plus vrai pour les suites de nombres complexes.

2.5

Suites récurrentes particulières

Parmi les suites récurrentes, les suites arithmétiques et géométriques ont des propriétés remarquables. Une suite arithmétique, ou progression arithmétique, est une suite dont la différence entre deux termes successifs est constante. Une suite géométrique, ou progression géométrique, est une suite dont le rapport de deux termes successifs est constant.

Pour illustrer ces définitions, prenons l’exemple d’un investissement financier. Considérons une somme d’argent de F francs, et un taux d’intérêt de 8 p. 100. Si les intérêts ne sont calculés que sur la somme initiale de F francs, la valeur de l’investissement atteint, au bout de n années, a_n = F + n (0,08) F francs. Si chaque année, les intérêts sont calculés sur la valeur actuelle de l’investissement, l’investissement initial atteint au bout de n années la valeur de g_n = F (1,08)ⁿ francs. Dans le premier cas, on ajoute chaque année 0,08 F francs : (a_n) est une suite arithmétique. Dans le second cas, on multiplie chaque année la valeur de l’investissement par 1,08 : (g_n) est une suite géométrique.

Le terme général d’une suite arithmétique peut s’écrire : a_n = a₀ + nr, où r est un nombre réel appelé raison de la suite (u_n). De même, le terme général d’une suite géométrique s’écrit : g_n = g₀qⁿ, où le réel q est la raison de la suite (g_n).

3

Séries

3.1

Définition

Soit (u_n) une suite définie sur l’ensemble des entiers naturels. On appelle série de terme général u_n la suite (S_n) définie par S_n = u₀ + u₁ +u₂ + ... + u_n pour tout entier n. Les termes S_n sont les sommes partielles de rang n de la série.

Une série étant une suite, toutes les définitions données ci-dessus s’appliquent. Si la série (S_n) converge, sa limite est appelée somme de la série.

3.2

Convergence

Si, pour tout entier n, le terme général de la série (S_n) est positif, et si (S_n) est majorée, alors (S_n) converge.

Soient r_n et s_n, les termes généraux positifs respectifs des séries (R_n) et (S_n). Supposons que pour tout entier n, r_n soit inférieur à s_n. Alors, si (S_n) converge, (R_n) converge ; et si (R_n) diverge, (S_n) diverge.

3.3

Séries particulières

Il est facile de calculer les sommes partielles des séries dont le terme général est une suite arithmétique ou géométrique. Dans le premier cas, S_n = (n + 1) u₀ +n (n + 1) r / 2. Dans le second, S_n = (n + 1) u₀ si q est égal à 1, et S_n = u₀ (1 - qⁿ⁺¹) / (1 - q) si q est différent de 1.