suites et séries

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Présentation

suites et séries, on définit une suite comme une succession ordonnée d’éléments pris dans un ensemble donné ; une série est la somme des termes d’une suite.

Les suites et les séries occupent une place fondamentale dans les mathématiques modernes. Les travaux d’Abel, de Cauchy et de Gauss sur la convergence ont marqué, au début du XIX^e siècle, l’étude des séries. Celle-ci ne se limite pas aux séries de nombres réels, mais s’applique aussi aux séries de nombres complexes, ou aux séries de fonctions. Les séries ont des applications dans de nombreux domaines scientifiques, comme l’électronique.

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Suites réelles

2.1

Définitions

Une suite réelle est une application d’une partie de l’ensemble des entiers naturels dans l’ensemble des réels . On définit une suite notée (u_n) par son terme général u_n, appelé aussi terme de rang n, et par son premier terme (on suppose ici que c’est u₀). La suite est alors déterminée par une équation donnant u_n en fonction de n (par exemple, u_n = 2n + 1). Une suite peut être également définie par la valeur du premier terme et par une relation de récurrence, c’est-à-dire une relation liant plusieurs termes généraux de rangs différents. Un exemple de suite récurrente est la suite définie par u₀ = 2, et u_n+1 = 2u_n - 6 pour tout n non nul.

Une suite finie est une application d’une partie finie de dans . Elle possède donc un nombre fini de termes. Au contraire, une suite infinie est une application d’une partie infinie de (on prend généralement tout entier) dans . Par exemple, la suite de Fibonacci, dont les premiers termes sont 0 et 1, et dont les autres termes sont la somme des deux termes précédents, détermine la suite 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, etc. Elle est infinie.

2.2

Caractéristiques

Une suite est croissante si, pour tout entier n, u_n est supérieur ou égal à u_n-1. Elle est décroissante si, pour tout entier n, u_n est inférieur ou égal à u_n-1.

Une suite est majorée s’il existe un réel M et un entier p tels que, pour tout entier n > p, u_n < M. Une suite est minorée s’il existe un réel m et un entier p tels que, pour tout entier n > p, u_n > m. Une suite à la fois majorée et minorée est une suite bornée.

2.3

Convergence

Une suite (u_n) converge vers un réel l, si, pour tout réel strictement positif e, il existe un entier p tel que pour tout n > p, |u_n - l| ≤ e.

l est alors appelée la limite de (u_n). Intuitivement, (u_n) converge vers l si, lorsque n augmente, u_n se rapproche de plus en plus de l. Par exemple, la suite définie par u_n = 1 / n et u₀ = 1 converge vers 0. Si une suite ne converge vers aucun réel, on dit qu’elle est divergente.

À partir de ces définitions, il est facile de démontrer qu’une suite convergente est forcément bornée à partir d’un certain rang.

Dans certains cas, on peut aisément prouver qu’une suite est convergente à l’aide de certains critères.

Soient trois suites (u_n), (v_n) et (w_n). Supposons que (v_n) et (w_n) convergent vers la même limite l. Si à partir d’un certain rang, on a pour tout n : w_n ≤ u_n ≤ v_n, alors (u_n) converge vers l.

Par ailleurs, toute suite croissante et majorée est convergente. De même, toute suite décroissante et minorée est convergente.